Topics: Nested logit; two-step nested logit; properties
8.1 Introduction
以往模型的缺陷：标准的logit模型的特点（independence from irrelevant alternatives IIA (implies proportional substitution across alternatives)) 往往使模型并不符合实际应用，因此需要一个避免IIA假设的模型。
GEV 的基本原理：假设方案未观察到的效用存在generalized extreme value的联合分布形式，进而允许方案之间的关联性，避免IIA假设，且这些关联性可进行检验。当方案之间相互独立时，则为传统的logit模型。
其中，最广泛的应用即为nested logit
8.2 Nested Logit
（1）模型适用情景：
同一嵌套下的方案间概率相互独立（符合IIA假设）；不同嵌套间的方案与其方案属性有关，IIA不成立。
案例：上班方式包括驾车、拼车、公交、地铁，因此删除一个方案，其他方案的概率都会增加。如公交和地铁可以同比例变动，则嵌套为“公共交通（IIA）”。驾车和拼车则嵌套为“汽车”中。而“汽车”和“公共交通”则不同比例变动（IIA does not hold）
Choosing nests is more an art than a science
（2）选择概率设定
其中，表示在嵌套k中的潜在效用关联度，越高则越独立，关联度越低，当期为1是，表示相互独立，此时分布函数与type1 extreme distribution相同，即为标准的logit模型。
在同一嵌套k中，内部的相互相关，而在不同的嵌套间则独立。
以此可以推出对应方案i的选择概率为：
显然，当k和m属于同一嵌套时，可以化简为
这意味着，同一嵌套内部的方案相互独立，遵循比例替代的原则。
而当k和m不属于同一嵌套时，不可以化简，但与其他不包含n和m的嵌套组相互独立，即independence from irrelevant nests or IIN
8.3 Two-step nested logit
可以将nested logit model 分解为两个步骤
- 选择nest
- 在nest被选择的情况下，进一步选择方案
因此，方案i被选中的几率可以表示为：
将可观测的效用分解为两个部分：嵌套内部所有方案相同的部分W，和随方案变动的部分Y
在此基础上，可以将Nested logit分解为两个标准的logit模型：其中，第二步的概率，即nest k选中下选择内部方案i的概率为：
而第一步，在nest中选择k的概率为为：
证明
Nested Logit Elasticities
8.4 Empirical considerations
Estimation:
maximum likelihood is the standard method, however, log-likelihood function is not globally concave
using bootstrap to get the correct estimator
Generalized Extreme Value Models
nested logit model is a special case of GEV distribution
